الموضوع النموذجي 6 · رياضيات العام (النوفيام)
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: معيّن ومكعّب ومقطع مستطيل.
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطلكلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، واحد منها فقط صحيح. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
- العدد 10²⁰²⁶ − 4 يقبل القسمة على:أ) 9ب) 12ج) 15
- الكتابة العلمية للعدد 0,00042 × (5 × 10⁷) هي:أ) 2,1 × 10³ب) 21 × 10³ج) 2,1 × 10⁴
- يحتوي كيس على 4 كرات حمراء و 6 كرات بيضاء و 5 كرات زرقاء متشابهة في اللمس. نسحب عشوائيًا كرة واحدة. احتمال ألّا تكون الكرة المسحوبة بيضاء هو:أ) 2/5ب) 3/5ج) 1/3
عناصر الإجابة
- 1) العدد 10²⁰²⁶ − 4 يُكتب 99…96 (2025 رقم 9 ثمّ 6): مجموع أرقامه 9 × 2025 + 6 = 18231 ومجموع أرقام هذا الأخير 15، فهو يقبل القسمة على 3 ولا يقبلها على 9؛ ورقماه الأخيران 96 = 4 × 24 فهو يقبل القسمة على 4، إذن على 12. رقم آحاده 6 فلا يقبل القسمة على 5 ولا على 15. الجواب (ب).
- 2) 0,00042 × 5 × 10⁷ = 4,2 × 10⁻⁴ × 5 × 10⁷ = 21 × 10³ = 2,1 × 10⁴. الكتابة 21 × 10³ صحيحة القيمة لكنّها ليست علمية (21 > 10). الجواب (ج).
- 3) عدد الكرات 15، والكرات غير البيضاء 4 + 5 = 9، فالاحتمال 9/15 = 3/5. الجواب (ب).
التمرين 2: أعداد حقيقية: جذور ومرافق وقيمة مطلقة
3,5 نقاطنعتبر العددين الحقيقيين a = 3/(√7 − 2) و b = √(11 − 4√7).
- بيّن أنّ a = √7 + 2.
- أ) تحقّق من أنّ (√7 − 2)² = 11 − 4√7.
ب) استنتج أنّ b = √7 − 2. - أحسب a × b و a − b.
- نعلم أنّ 2,6 < √7 < 2,7.
أ) أعط حصرًا للعدد a.
ب) بيّن أنّ |b − 1| + |a − 5| = 6 − 2√7.
حساب عبارات بها جذور تربيعيةالجذاءات المعتبرةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالترتيب والجمع في IR
عناصر الإجابة
- 1) نضرب في المرافق: a = 3(√7 + 2)/((√7 − 2)(√7 + 2)) = 3(√7 + 2)/(7 − 4) = √7 + 2.
- 2) أ) (√7 − 2)² = 7 − 4√7 + 4 = 11 − 4√7. ب) b = √((√7 − 2)²) = |√7 − 2| = √7 − 2 لأنّ 7 > 4 أي √7 > 2.
- 3) a × b = (√7 + 2)(√7 − 2) = 7 − 4 = 3 و a − b = (√7 + 2) − (√7 − 2) = 4.
- 4) أ) 2,6 + 2 < √7 + 2 < 2,7 + 2 أي 4,6 < a < 4,7. ب) b = √7 − 2 < 0,7 < 1 إذن |b − 1| = 1 − b = 3 − √7؛ و a < 4,7 < 5 إذن |a − 5| = 5 − a = 3 − √7. المجموع 6 − 2√7.
التمرين 3: عبارة جبرية وفرق مربّعين
4,5 نقاطليكن x عددًا حقيقيًا. نعتبر العبارة E = (2x − 3)² − (x + 1)².
- بيّن أنّ E = 3x² − 14x + 8.
- فكّك E إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى، ثمّ تحقّق من أنّ E = (x − 4)(3x − 2).
- حلّ في ℝ المعادلة E = 0.
- حلّ في ℝ المعادلة E = 8.
- حلّ في ℝ المتراجحة 3x² − 14x + 8 ≤ 3x² − 10 ثمّ اكتب مجموعة الحلول في شكل مجال.
الجذاءات المعتبرةالعبارات الجبرية: النشر والتفكيكالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد
عناصر الإجابة
- 1) E = (4x² − 12x + 9) − (x² + 2x + 1) = 3x² − 14x + 8.
- 2) فرق مربّعين: E = [(2x − 3) − (x + 1)] × [(2x − 3) + (x + 1)] = (x − 4)(3x − 2).
- 3) (x − 4)(3x − 2) = 0 تعني x − 4 = 0 أو 3x − 2 = 0: الحلّان 4 و 2/3.
- 4) 3x² − 14x + 8 = 8 تعني 3x² − 14x = 0 أي x(3x − 14) = 0: الحلّان 0 و 14/3.
- 5) −14x + 8 ≤ −10 تعني −14x ≤ −18 أي x ≥ 9/7 (القسمة على عدد سالب تغيّر الاتّجاه). مجموعة الحلول [9/7 ; +∞[.
التمرين 4: معيّن ودائرة محاطة
5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) في الرسم المقابل ABCD معيّن مركزه O حيث AC = 8 و BD = 6.
- أ) لماذا المستقيمان (AC) و (BD) متعامدان؟
ب) بيّن أنّ AB = 5. - أحسب مساحة المعيّن ABCD.
- لتكن H المسقط العمودي للنقطة O على (AB).
أ) بيّن أنّ OH = 2,4.
ب) أحسب AH. - لتكن M منتصف [AO]. المستقيم الموازي لـ (BD) والمارّ من M يقطع [AB] في N.
أ) بيّن أنّ AN = 2,5 و MN = 1,5.
ب) استنتج أنّ N منتصف [AB] وأنّ ON = AN. - بيّن أنّ بُعد O عن المستقيم (BC) يساوي 2,4، ثمّ استنتج أنّ الدائرة التي مركزها O وشعاعها 2,4 تمسّ أضلاع المعيّن الأربعة.
الرباعيات الخاصّة وخاصيّاتهانظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالعلاقات القياسية في المثلث القائممبرهنة طالس في المثلث
عناصر الإجابة
- 1) أ) قطرا المعيّن متعامدان ومتناصفان. ب) OA = 4 و OB = 3 والمثلث AOB قائم في O: AB² = 16 + 9 = 25 إذن AB = 5.
- 2) المساحة = (AC × BD)/2 = (8 × 6)/2 = 24 cm².
- 3) أ) في المثلث AOB القائم في O: OH × AB = OA × OB إذن OH = 12/5 = 2,4. ب) OA² = AH × AB إذن AH = 16/5 = 3,2 (أو بيتاغور: AH² = 16 − 5,76 = 10,24).
- 4) أ) AM = 2 و (MN) // (OB)، حسب طالس في المثلث AOB: AN/AB = AM/AO = MN/OB = 1/2، إذن AN = 2,5 و MN = 1,5. ب) AN = AB/2 و N ∈ [AB] فهي منتصفه؛ و [ON] موسّط متعلّق بالوتر في المثلث القائم AOB إذن ON = AB/2 = 2,5 = AN.
- 5) التناظر بالنسبة إلى المستقيم (BD) يحوّل A إلى C ويترك O و B ثابتتين، فيحوّل (AB) إلى (CB) ويحفظ الأبعاد: بُعد O عن (BC) = OH = 2,4؛ وبالتناظر بالنسبة إلى (AC) نجد البعد نفسه عن (AD) و (CD). الدائرة (O ; 2,4) تمسّ إذن الأضلاع الأربعة (الشعاع العمودي على كلّ ضلع في نقطة التماسّ).
التمرين 5: مكعّب ومقطع مستطيل
4 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) ABCDEFGH مكعّب طول حرفه 6.
- أ) بيّن أنّ AC = 6√2.
ب) بيّن أنّ المستقيم (CG) عمودي على المستوي (ABC)، ثمّ استنتج أنّ الرباعي ACGE مستطيل وأحسب مساحته. - بيّن أنّ AG = 6√3.
- لتكن K المسقط العمودي للنقطة C على (AG). بيّن أنّ CK = 2√6.
- أحسب حجم الهرم GABCD ثمّ قارنه بحجم المكعّب.
التعامد في الفضاءنظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالعلاقات القياسية في المثلث القائمالهرم المنتظم والمخروط الدوراني
عناصر الإجابة
- 1) أ) المثلث ABC قائم في B: AC² = 36 + 36 = 72 إذن AC = 6√2. ب) (CG) ⊥ (CB) و (CG) ⊥ (CD) وهما متقاطعان في المستوي (ABC)، إذن (CG) ⊥ (ABC). كذلك (AE) // (CG) و AE = CG = 6 فالرباعي ACGE متوازي أضلاع، وفيه (CG) ⊥ (AC) فهو مستطيل. مساحته AC × CG = 36√2 cm².
- 2) (CG) ⊥ (AC) فالمثلث ACG قائم في C: AG² = 72 + 36 = 108 إذن AG = 6√3.
- 3) في المثلث ACG القائم في C: CK × AG = CA × CG إذن CK = (6√2 × 6)/(6√3) = 6√2/√3 = 2√6.
- 4) حجم الهرم = (36 × 6)/3 = 72 cm³ وحجم المكعّب 216 cm³، فحجم الهرم يساوي ثلث حجم المكعّب.
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.